Álgebra – Semana 1: Lógica proposicional y teoría de conjuntos

📘 Álgebra – Semana 1: Fundamentos de la lógica proposicional

Introducción:
La lógica valida razonamientos a partir de premisas aceptadas como ciertas para obtener una conclusión válida. En esta clase, estudiaremos la lógica proposicional o lógica de orden cero, enfocándonos en las proposiciones y sus conectores.

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🔹 Proposiciones

Una proposición lógica es un enunciado que:

• Afirma algo acerca de un sujeto
• Puedes asignarle un valor de verdad: Verdadero (V) o Falso (F)

Ejemplos de proposiciones:

• “Laura nunca te hizo caso”
• “Juan ingresará a la UNI”
• “2 + 4 = 6”

No son proposiciones:

• “¡Qué calor!”
• “x + 5 = 6”

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🔗 Conectores lógicos

• ¬p: Negación
• p ∧ q: Conjunción
• p ∨ q: Disyunción
• p → q: Condicional
• p ↔ q: Bicondicional
• p △ q: Disyunción excluyente

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📊 Tabla de verdad completa

p	q	¬p	¬q	p ∧ q	p ∨ q	p → q	p ↔ q	p △ q
V	V	F	F	V	V	V	V	F
V	F	F	V	F	V	F	F	V
F	V	V	F	F	V	V	F	V
F	F	V	V	F	F	V	V	F

✅ Observaciones:

• ¬p: Invierte el valor de p.
• p ∧ q: Solo es V si ambos son V.
• p ∨ q: Solo es F si ambos son F.
• p → q: Solo es F si p es V y q es F.
• p ↔ q: Solo es V si p y q tienen el mismo valor.
• p △ q: Solo es V si p y q son diferentes.

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📐 Leyes de De Morgan

Las Leyes de De Morgan nos permiten transformar negaciones de proposiciones compuestas:

• ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
• ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

Estas leyes son fundamentales para simplificar expresiones lógicas y demostrar equivalencias.

Ejemplo:

• Sea p = “Estudia”, q = “Aprueba”
• Entonces: ¬(p ∧ q) = “No es cierto que estudia y aprueba”
• Equivale a: “No estudia o no aprueba” → ¬p ∨ ¬q

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🧪 Ejercicios propuestos

1. Clasifica como proposición o no:
   • a) El sol es una estrella
   • b) ¡Apúrate!
   • c) 3 es mayor que 5
2. Completa una tabla de verdad para ¬p ∨ q
3. Dado A = {1, 3, 5, 7} y B = {3, 4, 5, 6}, calcula:
   • a) A ∪ B
   • b) A ∩ B
   • c) A − B
4. Demuestra con tabla de verdad que ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

📘 Parte II: Teoría de Conjuntos

En esta clase estudiaremos los conjuntos, sus propiedades, relaciones y operaciones fundamentales. Estos conceptos son la base para la lógica matemática, estructuras y razonamiento algebraico.

🔹 ¿Qué es un conjunto?

Un conjunto es una agrupación bien definida de objetos llamados elementos. Se representa con letras mayúsculas y sus elementos entre llaves: A = {a, e, i, o, u}.

✅ Formas de determinar un conjunto:

• Por extensión: Se listan todos sus elementos: A = {1, 2, 3}
• Por comprensión: Se describe una propiedad que cumplen sus elementos: A = {x ∈ ℕ | x < 4}

📌 Función proposicional:

Una función proposicional describe una condición para que un elemento pertenezca al conjunto. Solo aquellos elementos que hacen verdadera la proposición forman parte del conjunto.

🔹 Relaciones de pertenencia e inclusión

• Pertenencia: x ∈ A si x es un elemento de A
• No pertenencia: x ∉ A si x no pertenece a A
• Inclusión: A ⊂ B si todos los elementos de A también están en B

Ejemplo: Sean A = {2, 5, 8} y B = {3, 5, 6}

• 2 ∈ A → ✅
• 5 ∉ A → ❌
• {2, 5} ⊂ A → ✅
• {3, 5} ⊄ A → ✅

🔹 Conjunto vacío ∅

Es el conjunto sin elementos. Se denota ∅ o { }.

x ∈ ∅ siempre es Falso.

🔹 Conjunto universo U

Es el conjunto que contiene todos los elementos posibles en el contexto.

x ∈ U siempre es Verdadero.

🔹 Conjunto unitario

Contiene un único elemento: A = {a}

🔹 Representación gráfica de conjuntos – Diagramas de Venn

Los diagramas de Venn permiten representar visualmente las relaciones entre conjuntos.

• 1 conjunto: Un círculo dentro del universo
• 2 conjuntos: Dos círculos que pueden intersectarse
• 3 conjuntos: Tres círculos con áreas compartidas

🔹 Operaciones fundamentales

• Unión: A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Intersección: A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∈ B}
• Diferencia: A \\ B = {x ∈ A | x ∉ B}
• Complemento: Aᶜ = {x ∈ U | x ∉ A}
• Diferencia simétrica: A △ B = (A \\ B) ∪ (B \\ A)

🔹 Conjuntos disjuntos

A y B son disjuntos si no tienen elementos en común:

A ∩ B = ∅

🔹 Igualdad de conjuntos

A = B ⇔ (x ∈ A ↔ x ∈ B)

También se cumple que: A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A

🔹 Subconjuntos y subconjuntos propios

• Subconjunto: A ⊂ B
• Subconjunto propio: A ⊂ B ∧ A ≠ B

🔹 Álgebra de conjuntos – Leyes

Propiedades básicas:

• A ∪ A = A
• A ∩ A = A
• A ∪ ∅ = A
• A ∩ ∅ = ∅

Propiedades con el universo:

• A ∪ U = U
• A ∩ U = A

Leyes de De Morgan:

• ¬(A ∪ B) = Aᶜ ∩ Bᶜ
• ¬(A ∩ B) = Aᶜ ∪ Bᶜ

Leyes de absorción:

• A ∪ (A ∩ B) = A
• A ∩ (A ∪ B) = A

Diferencia simétrica:

• A △ B = (A \\ B) ∪ (B \\ A)

🧪 Ejercicios propuestos

1. Determina si los siguientes conjuntos están bien definidos:
• a) A = {números grandes}
• b) B = {x ∈ ℕ | x ≤ 10}
2. Dados A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}:
   • a) A ∪ B
   • b) A ∩ B
   • c) A \\ B
   • d) A △ B
3. Aplica las leyes de De Morgan y verifica con ejemplos numéricos.

📥 Próximamente: PDF descargable del tema + ejercicios resueltos.