➕ Aritmética – Semana 1: Razones y Proporciones

En esta clase estudiaremos las razones y proporciones, conceptos fundamentales en el razonamiento matemático y en la resolución de problemas con relaciones entre cantidades.

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📌 ¿Qué es una razón?

Es una comparación entre dos cantidades. Existen tres tipos:

1. Razón aritmética

Es la diferencia entre dos cantidades.

Ejemplo: Si Antonio tiene 12 años y Beto 3 años, su razón aritmética es:
12 - 3 = 9

2. Razón geométrica

Es el cocie entre dos cantidades.

Ejemplo: Si un lapicero cuesta S/12 y un borrador S/3, la razón de precios es:
12 / 3 = 4

3. Razón armónica

Se obtiene restando las inversas multiplicativas de dos cantidades.

Ejemplo: La razón armónica de 2 y 3 es:
1/2 - 1/3 = 1/6 → razón armónica = 6

En general, para una razón se cumple:

• a: antecedente
• b: consecuente
• r: valor de la razón

🔗 ¿Qué es una proporción?

Es la igualdad entre dos razones del mismo tipo, pueden ser

📐Discreta(términos medios diferentes)

Tenemos:

Aritmética

Geométrica

Armónica

Denominaciones:

• Los términos a y d se denominan extremos.
• Los términos b y c se denominan medios.
• Los términos a y c son los antecedentes.
• Los términos b y d los consecuentes.

📐 Continúas (términos medios diferentes)

📏 Proporción aritmética continua

Es una proporción donde los términos intermedios son iguales.

• b Media aritmética diferencial de a y c.
• c Tercera diferencial de a y b.

📏 Proporción geométrica continua

Es una proporción donde los términos intermedios son iguales.

Forma general: a / x = x / b

x se llama media proporcional entre a y b.

De la proporción:

a · b = x² → x = √(a·b)

Ejemplo: Hallar la media proporcional entre 4 y 9:

x = √(4·9) = √36 = 6

🔁 Proporción armónica continua.

• b Media armónica de a y c.
• c Tercera armónica de a y b.

Observación:

🔁 Proporción inversa

Cuando al aumentar una cantidad, la otra disminuye en la misma proporción.

Ejemplo: Si 4 obreros hacen una obra en 12 días, ¿Cuántos días tardarán 6 obreros?

Como es inversa: 4 · 12 = 6 · x → x = (4·12)/6 = 8 días

📝 Ejercicios propuestos

1. Halla la razón aritmética, geométrica y armónica entre 8 y 2.
2. Demuestra que 3 / 5 = 6 / 10 es una proporción válida.
3. Halla la media proporcional entre 25 y 100.
4. Un auto recorre una distancia en 4 h a 60 km/h. ¿Cuánto tardaría si va a 80 km/h?

📥 Muy pronto: PDF descargable del tema con ejercicios resueltos.